層 (faisceau)
sheaf$ \cal F
前層 (presheaf。préfaisceau) 圈$ \bf Bから適當な圈$ \bf Cへの反變函手を$ \bf C-前層と呼ぶ ※$ \bf CRingや$ \bf Abや$ _R{\bf Mod}への前層を指す事も多いので注意 Hom 函手$ {\rm Hom}(\_,B):{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set},$ X\mapsto{\rm Hom}(X,B),$ (f:X\to Y)\mapsto({\rm Hom}(f,B):{\rm Hom}(X,B)\to{\rm Hom}(Y,B),(g:X\to B)\mapsto((f;g):Y\to B))でもある より一般には$ \bf Cを適當な (∞,0)-圈として$ F:{\bf B}^{\rm op}\to{\bf C}
前層の圈$ {\bf C}\text{-}{\bf Psh}(X)
位相空閒$ (X,{\cal O}) について、$ \bf C -前層$ {\cal F}:{\cal O}^{\rm op}\to{\bf C} の成す函手圈$ [{\cal O}^{\rm op},{\bf C}] を、前層の圈$ {\bf C}\text{-}{\bf PSh}(X) と呼ぶ 圈$ \bf B からの$ \bf C -前層$ {\cal F}:{\bf B}^{\rm op}\to{\bf C} の成す函手圈$ [{\bf B}^{\rm op},{\bf C}] を、前層の圈$ {\bf C}\text{-}{\bf PSh}({\bf B})と呼ぶ $ \bf Set への前層の成す函手圈を$ {\bf PSh}(X),$ {\bf PSh}({\bf B})と書く 直像$ f^*\dashv f_*逆像
$ f_!\dashv f^!
$ \_\otimes X\dashv[X,\_]
函手$ f:{\bf C}\to{\bf C}' に對して隨伴列$ (f_!\dashv f^*\dashv f_*):{\bf D}\text-{\bf PSh}({\bf C}')\xrightleftarrows[f_!]{f^*}{\bf D}\text-{\bf PSh}({\bf C})\xrightleftarrows[f^*]{f_*}{\bf D}\text-{\bf PSh}({\bf C}') 函手$ g:{\bf C}'\to{\bf C} に對して隨伴列$ (g_!\dashv g^*\dashv g_*):{\bf D}\text-{\bf PSh}({\bf C})\xrightleftarrows[g_!]{g^*}{\bf D}\text-{\bf PSh}({\bf C}')\xrightleftarrows[g^*]{g_*}{\bf D}\text-{\bf PSh}({\bf C}) $ f_!\vdash g_!,$ f^*\vdash g^*,$ f_*\vdash g_*
$ f_*\cong g^*,$ f^*\cong g_!
圈$ \bf Cの對象$ X\in|{\bf C}|について、$ Xへの射の集まり$ S=\{\cdot\to X\}で、$ f\in Sかつ$ g;f:\cdot\to Xが存在するならば$ g;f\in Sであるならば、$ X上の篩 (圈)と呼ぶ 圈$ \bf Cの對象$ X\in|{\bf C}|について、米田埋め込み$ よ_X(\_)={\rm Hom}(\_,X)の部分函手$ S:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}を$ X上の篩 (圈)と言ふ 包含射$ S\hookrightarrow よ_Xも篩 (圈)と言ってよい 極大篩 (maximal sieve)
$ よ_X(\_)自體を極大篩と呼ぶ
$ X上の篩の圈$ {\bf Sv}(X)
射$ f:X\to Yと$ Y上の篩 (圈)$ S\sub よ_Y(\_)について、$ X上の篩 (圈)$ f^*S:=\{g|g:\cdot\to X,g;f\in S\}を、$ fによる$ Sの引き戾しと呼ぶ 圈$ \bf Cの射$ f:X\to Yと$ Y上の篩 (圈)$ S\sub よ_Y(\_)について、$ {\bf Set}^{{\bf C}^{\rm op}}での引き戾し$ f^*S:=S\times_{よ_Y}よ_Xは$ X上の篩 (圈)であり、$ fによる$ Sの引き戾しと呼ぶ ←→餘篩 (cosieve)
射の集まり$ C=\{X\to\cdot\}で、$ f\in Sかつ$ f;g:\cdot\to Xが存在するならば$ f;g\in Sであるものを言ふ
$ よ^Xの部分函手$ C=:{\bf C}\to{\bf Set}
$ X上の餘篩の圈$ {\bf coSv}(X)
$ U上の被覆篩$ S=\{U_i\to U\}_{i\in I},$ S\subset よ_U(\_),$ S\in Jと適當な函手$ P:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}との自然變換$ \alpha:S\to Pに對し、可換圖式$ S\xhookrightarrow{\subset}よ_U\xrightarrow{\exist!f}P\xleftarrow{\alpha}Sを滿たす射$ fがただ一つ存在する 層の圈$ {\bf C}\text{-}{\bf Sh}[X]
層 (faisceau)$ {\cal F},{\cal G}:{\cal O}^{\rm op}\to{\bf Set}について、可換圖式$ {\cal G}(U)\xrightarrow{\varphi_U}{\cal F}(U)\xrightarrow{\rho_V^U}{\cal F}(V)\xleftarrow{\varphi_V}{\cal G}(V)\xleftarrow{\rho_V^U}{\cal G}(U)を滿たす$ \varphiを層の射と言ふ 層化 (sheafification)
歸納極限$ {\cal F}_x:=\lim_{\overrightarrow{\forall U(x\in U)}}{\cal F}(U) $ \{x\},$ x\in Xから$ Xへの包含寫像を$ i:\{x\}\to Xとして、$ {\cal F}_x:=i^{-1}({\cal F}(\{x\}))
芽 (germe)
入射層 (injective sheaf)
脆弱層 (flabby sheaf)
細層 (fine sheaf)
軟弱層 (soft sheaf)
非輪狀層 (acyclic sheaf)